Уравнения методом гаусса

Текущая версия страницы пока опытными участниками и может значительно отличаться отпроверенной 14 ноября 2015; проверки требуют. Текущая версия страницы пока опытными участниками и может значительно отличаться отпроверенной 14 ноября 2015; проверки требуют. У этого термина существуют и другие значения, см. Ме́тод Га́усса — классический метод решения СЛАУ. Это метод последовательного исключениякогда с уравнения методом гаусса элементарных преобразований система уравнений приводится уравнения методом гаусса равносильной системе уравнения методом гаусса вида, из которой последовательно, начиная с последних по номерунаходятся все переменные системы. Первое известное описание данного метода уравнения методом гаусса в китайском трактате «». Матрица уравнения методом гаусса основной матрицей системы, — столбцом свободных членов. Тогда, согласно свойству над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов : При этом будем считать, что ненулевой максимального порядка основной уравнения методом гаусса находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных. Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными. Если хотя бы одно числогдето рассматриваемая системат. Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левомгде — номер строки :где Если уравнения методом гаусса переменным системы 2 придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх то есть от нижнего уравнения к верхнемуто мы уравнения методом гаусса все решения этой. Так как эта система получена путём над исходной системой 1то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы 1 и 2 эквивалентны, то есть множества их решений совпадают. Следствия: 1: Если уравнения методом гаусса совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. Следствия: Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём над строками систему приводят к ступенчатой илилибо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию. На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого уравнения методом гаусса в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построитьлибо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную а она там всего одна и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего самого верхнегоситуация в точности повторяет случай последней строки. Метод Гаусса требует арифметических операций. Этот метод опирается на: Теорема о приведении матриц к ступенчатому виду. Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. Из последнего уравнения методом гаусса уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на исоответственно: Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на : В результате мы привели исходную систему к уравнения методом гаусса, тем самым закончим первый этап алгоритма. На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: из третьего; из второго, подставив полученное из первого, подставив полученные и. Таким образом исходная система решена. В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде. Length ; i ++ { 53 Console. WriteLine "x" + i. Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение. Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — системы. Например, для метод приводит к очень большим ошибкам даже при небольшой размерности этих матриц. Уменьшить вычислительную ошибку можно с помощью метода Гаусса с выделением главного элемента, который является условно устойчивым. Широкое применение метода Гаусса связано с тем, что плохо обусловленные матрицы встречаются на практике относительно редко. Отсюда вытекает, что обращение уравнения методом гаусса и решение СЛАУ можно осуществлять алгоритмами асимптотически более быстрыми по порядку, чем метод Гаусса. Таким образом, для больших СЛАУ метод Гаусса не оптимален по скорости. Такого расположения минора можно добиться перестановкой столбцов основной матрицы и соответствующей перенумерацией переменных. «Система m линейных уравнений с n переменными», стр. Линейная алгебра: Учебник для вузов. Вычислительные методы для инженеров. Справочник по математике для научных работников инженеров. Текст доступен по ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации.

Цель элементарных преобразований — привести матрицу к ступенчатому виду:. Проведем решение методом Гаусса, так как этот метод нам позволит выяснить, совместна система или нет и в случае ее совместности определить решение.

добавлено 83 комментария(ев)